En esta sección vamos a analizar los diferentes tipos de robots omnidireccionales.
En primer lugar vamos a revisar el robot omnidireccional de cuatro ruedas tipo mecano.
Para ello vamos a dibujar nuestro robot desplazado tanto en el eje X como en el eje y adicionalmente
lo vamos a rotar un ángulo phi.
Nuestro punto de control en este caso va a ser en el centro geométrico de nuestro robot y como podemos
observar nuestro robot va a tener una característica especial que va a tener una velocidad adicional
a la que tenía el otro robot es decir una velocidad lateral que permite a mi robot moverse de forma
lateral como podemos observar tanto al lado izquierdo como al lado derecho.
Tenemos de igual manera la velocidad frontal y tenemos nuestra velocidad angular.
A continuación vamos a realizar nuestro modelo geométrico y tenemos que en el punto H en el eje X tenemos
que es igual a x 1 y en quién va a ser igual a 1.
Ahora vamos a trazar aquí un ángulo que lo vamos a llamar Beta y vamos a hallar posteriormente la derivada
es decir las velocidades de nuestro punto de control y podemos obtener lo siguiente.
Anteriormente habíamos revisado cómo obtener este conjunto de velocidades tanto en el eje X como en
el eje IEM debido a que se formaba un triángulo rectángulo aquí ahora vamos a adicionar la velocidad
lateral que de igual manera como observamos se forma un triángulo rectángulo y vamos a obtener cada
una de sus componentes.
Entonces tenemos la componente en X que como observamos es igual al cateto opuesto entonces el cateto
opuesto está en la parte negativa.
Como podemos observar aquí está nuestro sistema de referencias y está en la parte negativa por lo tanto
va a ser menos.
Aquí tenemos el huele que es la velocidad lateral y por el seno del ángulo que en este caso es beta
y de igual manera para la parte del eje IEM tenemos aquí que es el cateto adyacente y lo obtenemos mediante
el coseno.
Ahora nuestro modelo ha quedado en función de beta pero este ángulo beta es desconocido siempre nuestro
modelo como mencionaba de buscar una relación con las variables de control en este caso beta no es una
variable de control.
Entonces nosotros debemos hallar esa variable con respecto a esta variable que sí lo es.
Para ello vamos a trazar el siguiente conjunto de ecuaciones la primera ecuación relaciona como podemos
observar que Alfa más el ángulo phi y más de estos 90 grados van a formar un total de 180 grados.
Adicionalmente tenemos que Alfa más beta van a formar 90 grados por lo tanto ya tenemos dos ecuaciones
con dos incógnitas y podemos despejar la una y reemplazar en la otra como hemos hecho.
A continuación vamos a reemplazar reducimos términos y a la final llegamos a la relación que beta va
a ser igual al ángulo phi.
Posteriormente vamos a reemplazar en nuestro conjunto de ecuaciones anterior este resultado y obtenemos
lo siguiente tenemos las velocidades en nuestro punto de control con respecto a las velocidades de control.
Ahora vamos a representar nuestro conjunto de ecuaciones de forma matricial como habíamos realizado
anteriormente y llegamos a la siguiente forma.
Ahora nosotros tenemos en función de velocidades lineales y velocidades angulares pero la idea de nosotros
para poder implementarlo en un robot real es necesario obtener las velocidades de cada uno de los actuadores
en este caso de cada uno de los motores.
Por lo tanto vamos a necesitar una matriz de transformación que es la siguiente.
Aquí podemos observar cómo esta matriz de aquí relaciona las velocidades de las llantas con las velocidades
de nuestro robot completo entonces nosotros vamos a hallar esas velocidades simplemente con conocer
el radio de nuestra llanta.
Como podemos observar aquí y la distancia a la que se observa en este otro gráfico.
Una vez que hemos obtenido estas ecuaciones vamos a realizar la simulación en Matlab.