En la sección anterior revisamos brazos robóticos o manipuladores.
Sin embargo si se necesita añadir movilidad a las ventajas que presta un brazo robótico entonces necesitamos
combinarlo con un robot móvil como lo podemos ver acá formando así un manipulador móvil.
Este robot se caracteriza por su alto grado de redundancia.
Esto permite un mayor espacio de trabajo debido a la combinación de traslación que proporciona a la
plataforma móvil y la manipulación la cual proporciona el brazo robótico.
Como habíamos mencionado este robot se caracteriza por su alto grado de redundancia pero qué significa
redundancia.
Vamos a explicarlo brevemente qué significa este término en la robótica.
Matemáticamente nos quiere decir que un sistema tiene más incógnitas que ecuaciones es decir tenemos
diferentes soluciones para este sistema.
Esto lo revisaremos al momento que obtengamos el modelo matemático de este robot y vamos a verificar
que tiene más incógnitas que ecuaciones pero éste de qué nos sirve en la vida real.
Pues imaginemos que un robot redundante le asignamos una tarea.
Por ejemplo deseamos colocar este punto de control es decir el Creeper.
Este punto verde que venga Kym en una posición deseada.
Entonces debido a la redundancia del robot puede tomar diferentes trayectorias es decir diferentes soluciones
para llegar a una posición deseada o la solución.
Entonces este robot puede tomar diferentes trayectorias por ejemplo digamos que el brazo se mueve por
acá la plataforma se mueve para acá pero la final llega a un punto deseado que nosotros escojamos.
Entonces la redundancia me permite obtener múltiples soluciones.
Entonces nosotros podemos aprovechar esta redundancia para realizar tareas secundarias.
Por ejemplo imaginemos que la trayectoria que sigue el robot para encontrar este punto deseado está
lleno de obstáculos.
Entonces una tarea secundaria podría ser la evasión de obstáculos o podríamos tener otras consideraciones
sin afectar la tarea primaria es decir realizará la tarea primaria pero también realizará la tarea secundaria.
Esta es la ventaja de tener un robot redundante como el que tenemos en este gráfico.
Cómo podemos observar este sistema que revisaremos está compuesto de un brazo robótico montado sobre
una plataforma móvil tipo un ciclo por lo que se propone obtener el modelo de manera independiente es
decir vamos a analizar primero el modelo de la plataforma que ya lo habíamos hecho al inicio del curso.
Luego también veremos la parte del brazo y finalmente armaremos un modelo compacto considerando todo
el sistema del robot manipulador para este caso vamos a utilizar la siguiente plataforma una plataforma
tipo un ciclo que me va a permitir movilizar al brazo robótico.
Este brazo robótico como Ben está montado sobre la plataforma y esta es la posición de origen del robot.
Como pueden observar él la plataforma móvil se encuentra en el punto cero cero del eje X y centrado
en su punto geométrico como pueden observar acá tenemos el centro geométrico del robot y a partir de
aquí existe una distancia a donde se encuentra ubicado la base del Vash del brazo robótico y el brazo
robótico.
Como pueden observar vamos a tomar en cuenta este eslabón y este eslabón vamos a formar todos estos
eslabones y gripe como un solo eslabón.
Para comenzar recordaremos el modelo del robot móvil tipo un ciclo que habíamos visto al inicio del
curso pero en este caso vamos a usar un robot de cuatro ruedas en lugar de un robot de dos ruedas y
una rueda loca que habíamos visto al inicio del curso.
A diferencia del robot móvil analizado al inicio del curso como vemos este posee cuatro ruedas acá podemos
ver las cuatro ruedas.
Sin embargo funciona de igual manera con dos motores.
Acabamos de imaginar que están los motores.
Aquí tenemos un motor y acá tenemos el otro motor los cuales van a permitir el movimiento de estas cuatro
ruedas mediante un sistema de cadenas desdecir.
Estas llantas de acá va a estar conectado por un sistema de cadenas de acá con la llanta de acá entonces
en si va a funcionar con dos motores.
Este robot tipo un ciclo en este caso ya no analizamos el modelo en el eje central de las ruedas como
habíamos visto anteriormente.
Ahora el centro va a ser en el punto geométrico es decir en el centro geométrico del robot como podemos
observar acá tenemos el centro en esta parte y el centro en esta parte y vemos la intersección aquí
entonces de aquí va a ser el punto central a partir de eso nosotros vamos a dar como vamos acá una distancia
a de aquí acá hay una distancia donde va a estar ubicado como ven acá la base del manipulador.
Entonces tomando esas consideraciones nosotros ya podemos realizar el modelo de manera muy rápida.
Habíamos visto que el punto que tenemos en XP va a ser igual a la suma de x1 x2.
Pero como habíamos mencionado x2 venía a hacer esta parte de aquí y obteníamos con a coseno de Effy.
Este ángulo que forma acá y de igual manera para el eje G tendríamos la suma de 1 y esta porción que
tenemos acá que vendría a ser igual a C no Defy y para z en este caso vamos a considerar la altura del
robot es decir la altura desde el suelo hacia la base del manipulador que vendrá dada con el nombre
de Be entonces si nosotros realizamos la derivada utilizando la regla de la cadena hay que recordar
que esto de aquí está en función del tiempo.
Esta es una función del tiempo todo esto es en función del tiempo entonces todas estas variables son
en función del tiempo de acá iguala el fin.
También es Fide.
También acá es de té y acá también.
Uno también es de té de acá es una constante.
Entonces aplicando la regla de la cadena obtenemos el siguiente modelo matemático y la representación
de forma matricial como la habíamos visto de la siguiente manera.
En este caso vamos a hacer uso de la matriz jacobiano J que de aquí.
Esta es la matriz jacobiano.
Vamos a hacer uso de esta matriz para ver cuál es la funcionalidad de esta matriz en robótica y para
el brazo robótico vamos a basarnos en el modelo que habíamos revisado anteriormente el cual era un robot
de dos grados de libertad.
Como podemos observar aquí cuyos eslabones como vemos acá tenemos el eslabón 1 y acá tenemos el eslabón
2 rotaban en el eje.
Es decir se mueven de esta manera.
Finalmente para obtener el modelo cinemático de todo el manipulador móvil vamos a utilizar las nomenclaturas
que habíamos revisado en los modelos anteriormente vistos y vamos a formar un modelo compacto considerando
todo el sistema del manipulador móvil entonces para ello vamos a considerar como nuestro punto de interés
o punto de control en la punta del Creeper como podemos observar aquí.
Entonces este va a ser nuestro punto de control y debemos modelar con respecto a este punto.
Entonces podemos decir que en el eje X va a ser igual al X de la plataforma y más en este caso y habíamos
visto también el modelo anterior que era igual a L1 por coseno de uno más y L2 coseno de Q2 entonces
esto era parte del brazo robótico que habíamos revisado anteriormente.
Sin embargo ahora como ya tenemos la plataforma en esta parte de aquí tenemos la plataforma móvil entonces
me permite rotar a este brazo como habíamos visto este tenía una velocidad angular.
Por lo tanto va a permitir al brazo robótico también rotar este ángulo de rotación como ven acá desde
el ángulo de orientación de la plataforma el ángulo phi entonces nosotros debemos también incorporar
este ángulo al brazo robótico para tener el modelo total del robot.
Como pueden observar no simplemente es la suma de la plataforma más el brazo para terminar el modelo
debemos determinar la proyección de estos dos eslabones sobre el plano x.
Para ello como vemos acá tenemos esta parte de aquí que se va a proyectar acá listo.
Entonces aquí podemos observar que se forma un triángulo rectángulo como ve acá la hipotenusa va a ser
L1 que va a ser la longitud del primer eslabón y uno viene a ser el ángulo que forma en esta parte de
aquí.
Entonces nosotros podríamos obtener este segmento de aquí que vendría a ser el de un coseno de Q1.
Entonces esto se proyectaría en el plano x.
Como podemos ver acá este sería esa parte.
Entonces tendríamos la hipotenusa de esta parte de aquí que sería L1 coseno de Q1 y ahora debemos hallar
esta porción en X para hallar la porción X.
Como vemos acá se forma otro triángulo rectángulo este triángulo rectángulo tiene un ángulo FFIV y si
obtenemos como lo habíamos analizado arriba aquí obtendríamos lo siguiente L1 coseno de Q1 sería la
hipotenusa de este triángulo y por coseno del ángulo que forma este triángulo.
Como ve acá es el ángulo phi entonces para esta parte de aquí en cambio la hipotenusa sería esta parte
de aquí la que se proyecta en el plano x.
Y para hallar la parte del eje X lo multiplicamos por el coseno del ángulo que lo forman es decir el
ángulo phi.
Ahora vamos a ver el eje en el eje.
De igual manera mantenemos la de la plataforma como vamos acá por la hipotenusa que se forma en este
triángulo que habíamos visto y por el seno de el ángulo fin de vida que estamos obteniendo este cateto
opuesto.
Listo y para la segunda parte.
De igual manera mantenemos la hipotenusa y lo multiplicamos por el seno del ángulo que forma este triángulo
rectángulo.
Listo ahora para el eje Z.
Vamos a hacer lo siguiente tenemos la altura de la plataforma.
Esto va a ser una constante y también tenemos la altura de la base como vemos tenemos aquí una altura
de la base del brazo robótico y acá tenemos la parte del primer eslabón como vemos acá tenemos esta
parte de aquí que se forma que vendría a ser igual a L1 sino de Q1 y la parte de acá podemos observar
qué se forma.
Bueno aquí tenemos dos ángulos tenemos Q1 este ángulo es Q1 entonces obtendríamos la suma de los dos
ángulos dando como resultado L2 seno de Q1 mãsculos listo entonces hemos obtenido el modelo completo
de nuestro manipulador móvil.
En este momento vamos a pasar a realizar la representación matricial obteniendo la derivada de este
conjunto de ecuaciones.
Entonces vamos a obtener la derivada de este conjunto de ecuaciones y vamos a realizar al mismo tiempo
la representación de manera matricial.
Para armar esta matriz vamos a considerar la primera fila.
Tenemos acá la primera fila y también vamos a considerar la primera ecuación listo para la primera columna.
Como vemos acá de la matriz jacobiano vamos a considerar la velocidad lineal y nos vamos a centrar en
la primera ecuación.
En este caso observamos aquí que ninguna de estas partes de aquí dependen de la velocidad lineal.
Entonces esto de aquí va a ser igual a cero su derivada va a ser igual a cero.
Entonces no lo tomamos en cuenta simplemente nos vamos a centrar en el XP de la plataforma.
Si nosotros derivamos obtendríamos XP punto y si retomamos la diapositiva anterior podemos observar
que X punto va a ser igual al coseno de el ángulo FFIV como vemos acá depende de la velocidad lineal.
Entonces ubicamos este coseno del ángulo phi en la parte de acá.
Entonces regresamos y ubicamos destaca.
Bueno en esta ocasión estamos abreviando el coseno con la letra C y el seno con la letra S.
Hay que tomar eso en cuenta debido al espacio limitado que tenemos en esta diapositiva.
Listo.
Una vez que hemos considerado eso vamos a la siguiente parte es decir a la segunda columna en la segunda
columna.
Ahora vamos a considerar la velocidad angular.
Para ello observamos de igual manera la primera ecuación y observamos que el X punto vamos a regresar
observamos que depende de la velocidad angular.
Entonces como vemos esta parte de acá sería menos a C no de fi lo colocamos acá como pueden observar
y luego la siguiente parte.
Como vemos acá estoy aquí ya no es cero debido a que sí depende de la velocidad angular.
Acá tenemos del ángulo phi derivando utilizando la regla de la cadena obtendríamos la velocidad angular
es decir el punto.
Entonces ahora esta parte de aquí ya no es cero.
Entonces si nosotros derivamos esta parte de aquí tendríamos lo siguiente la derivada del coseno del
ángulo phi vendría a ser menos seno de fin.
Como podemos observar acá tenemos el signo menos y acá tenemos el seno de Phi y por esta parte de aquí
que vendría a ser una constante porque sólo estamos analizando la velocidad angular sería el coseno
de Q1 como podemos ver acá.
Listo.
Ahora vamos a la siguiente parte acá también depende de la velocidad angular.
Como podemos ver entonces la derivada de igual manera es menos como vemos acá seno del ángulo phi y
por esta parte de aquí que vendría a ser de igual manera una constante que sería L2 coseno de uno más
dos.
Listo.
Una vez que hemos realizado esto nos vamos a centrar ahora en la otra columna y también en la otra acción
de control que sería el 1 punto.
Vamos a derivar esta primera ecuación de igual manera a todos los valores que dependan de la variable
Q1 entonces tenemos este y tenemos este vamos a analizar.
Bueno esto ya no ya no se considera porque como podemos observar acá no depende de las variables del
brazo robótico.
Entonces esto valdría cero no lo vamos a tomar en cuenta.
Listo.
Entonces si tomamos en cuenta esta primera parte tendríamos la derivada del coseno de Q1 sería menos
seno de Q1 como podemos ver acá menos seno de Q1 y mantenemos las constantes que sería L1 y coseno del
ángulo phi como podemos ver coseno del ángulo phi y L1 y luego de igual manera aplicamos a la segunda
parte.
Acá también tenemos Q1 entonces la derivada tendríamos que sería igual menos L2 seno de Q1 más Q2 por
coseno del ángulo fin listo ahora nos vamos a centrar en la otra columna y vamos a tomar en cuenta la
siguiente acción de control que sería la Q2 entonces acá esto ya no nos interesa.
Esto valdría cero por qué no depende de la variable Q2 tenemos acá Q2 si acá lo podemos observar entonces
nosotros vamos a obtener la derivada de este término listo entonces si nosotros derivamos al coseno
como vemos acá si derivamos al coseno de Q1 más Q2 obtendríamos el seno de Q1 más Q2.
Recuerden que también debemos derivar el argumento pero como estamos tomando en cuenta el Q2 el Q1 pasaría
como una constante.
Entonces esto valdría cero al derivar el argumento.
Por lo tanto se mantiene esta parte de aquí como pueden ver entonces solo es cuestión de entender bien
las derivadas.
Nada más y como podemos observar tendríamos menos L2 sino de Q1 Q2 por coseno del ángulo phi.
De igual manera si nos dirigimos a la segunda fila tomamos en cuenta la segunda ecuación y volvemos
a repetir el procedimiento que habíamos visto.
Primero analizamos en este caso a esta ecuación la velocidad lineal y como hemos solo depende esta parte
de aquí.
Luego vamos a analizar la velocidad angular y como sabemos depende esto de aquí también depende esto
de acá es decir toda la ecuación.
Luego analizamos como vemos acá analizamos el Q1 punto y de igual manera solo depende esta parte de
obtendríamos la derivada sólo de esta parte.
Luego tendríamos solamente esta parte.
Como vemos acá acá tomaríamos en cuenta el Q2 y sólo derribaría esta parte listo para el eje z en cambio
como vemos no tenemos nada de velocidad lineal ni tampoco angular.
Entonces aquí como vemos va a cero para la velocidad lineal cero para la velocidad angular y luego vamos
a analizar el Q1 Akashi tenemos Q1.
Esto lo había mencionado son constantes.
Por lo tanto esto va a valer cero siempre listo entonces tenemos l coseno de Q1 que la derivada sería
L1 coseno de Q1 L2 seno de Q1 más Q2 obtendríamos más con L2 coseno de Q1 más oscuros y de igual manera.
Acá tomaríamos en cuenta el Q2 y la última columna que vendría a representar esta parte de acá.
Entonces como podemos observar podemos trasladar de manera inmediata la derivada de este conjunto de
ecuaciones ya de manera matricial lo cual es conveniente para trabajar en un software como lo es MATLAB
tenemos obtain.
También tenemos Python que se puede utilizar utilizando matrices que es mucho más óptimo trabajar de
esta manera.
Una vez terminado vamos a recordar que habíamos mencionado que este sistema es redundante entonces aquí
vamos a ver la parte matemática cómo sabemos que un sistema es redundante como podemos ver acá tenemos
tres ecuaciones les había mencionado que para que un sistema sea redundante debe tener más incógnitas
que ecuaciones.
Como vemos acá esta matriz J es una matriz de tres por cuatro es decir tres filas y cuatro columnas
las tres filas representan el número de ecuaciones.
Como vemos acá y las columnas viene a representar el número de incógnitas entonces tendríamos una dos
tres y cuatro columnas que vendrían a ser estas incógnitas que tenemos aquí.
Entonces matemáticamente esto representaría un sistema redundante tener más incógnitas que ecuaciones
en la siguiente clase vamos a revisar la simulación de este robot.